Найдите синус косинус и тангенс угла м треугольника мрт если угол р 90
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол — меньший 90 градусов.
Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .
Угол обозначается соответствующей греческой буквой .
Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
Давайте докажем некоторые из них.
- Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
- С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .
- Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на : Мы получили основное тригонометрическое тождество.
- Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .
Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .
Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
1. В треугольнике угол равен , . Найдите .
Задача решается за четыре секунды.
Поскольку , .
2. В треугольнике угол равен , , . Найдите .
Имеем:
Отсюда
Найдем по теореме Пифагора.
Задача решена.
Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!
Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.
Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.
Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.
Мы используем файлы cookie, чтобы персонализировать контент, адаптировать и оценивать результативность рекламы, а также обеспечить безопасность. Перейдя на сайт, вы соглашаетесь с использованием файлов cookie.
Похожие вопросы:
Геометрия, 19.03.2019 20:30
1.катет прямоуг. треугольника равен 6 дм. а протест лежащий угол равен 30 градусов. найдите гипотенузу этого треуг . 2. найти косинус и тангенс острого угла если их синус равен 12/3 3. синус острого угла прямоуг. треугольника равен 9/41. чему равен косинус второго острого угла? ,!
Ответов: 1
Геометрия, 23.03.2019 16:43
1.в треугольнике abc угол c равен 90 градусрв ab равно 65 bc равно 13 найти cos b 2.найдите синус косинус и тангенс угла b треугольника abc с прямым углом c если ac равно 12 cb равно 9. 3.постройте угол тангенс которого равен 3/4. 4. определите косинус и тангенс угла a если синус равен 0,08. 6.периметры двух подобных многоугольников относятся как 1: 2 .площядь большего многоугольника равна 10 . найти площядь меньшего многоугольника. 7.в треугольнике abc угол c равен 90 градусов, ab равно 39, синус b равен 12/13 .найдите bc. 8.основания bc и ad трапеции abcd равны соответственно 3 и 12 bd равно 6. докажите что треугольники cbo и bda подобны 9.известно что стороны треугольника abc равны 8 см 11 см 15 см найдите пириметр треугольника вершинами которого являются середины сторон треугольника abc !
Ответов: 2
Геометрия, 07.04.2019 17:45
Нужна 1)в треугольнике авс угол с =90 ав=13 см, а ас=5 см sin b и tg a 2) найди гипотенузу прямоугольного треугольника авс (угол с=90) если вс=6, cos b=3/7 3) найдите значение выражения sin2 37 градусов+cos2 37 градусов- sin2 45 градусов 4) в равнобокой трапеции авсd ab= cd = 6 см, bc=8,ad=12. найдите синус косинус тангенс и котангенс угла а трапеции
Ответов: 3
Геометрия, 18.05.2019 10:20
1)найдите синус, косинус и тангенс острого угла, если периметр =52 см, а площадь 120см2. 2) гипотенуза прямоугольного треугольника равна 82см, а тангенс одного из углов равен 9/40. найдите катеты этого треугольника. 3) найдите синус, косинус и тангенс угла при вершине равнобедренного треугольника, периметр=36см, а основание 10 см. 4) катет прямоугольного треугольника равен 14 см, а косинус противолежащего угла равен 24/25. найдите другие стороны этого треугольника.
Ответов: 2
Геометрия, 03.06.2019 01:40
Решить три . прошу ! 1) найдите косинус угла альфа и тангенс угла альфа, если синус угла альфа=23 и 0 градусов< угла альфа< 90 градусов. 2) найдите синус и косинус угла альфа, если тангенс угла альфа равен 12 3) докажите, что если два прямоугольных треугольника имеют по равному катету, то отношение синусов углов, противолежащих этим катетам, обратно отношению гипотенуз, а отношение тангенсов этих углов обратно отношению неравных катетов.
Ответов: 3
Геометрия, 17.06.2019 06:40
Решить 4 . 1.стороны прямоугольного треугольника равны 10 дм,8 дм и 6 дм. найти синус, косинус и тангенс большего острого угла этого треугольника. 2.косинус острого угла прямоугольного треугольника равен 12/37 . 3. найти тангенс острого угла, если его синус равен 24/25. 4.катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а противолежащий угол равен 45 градусов. найти гипотенузу этого треугольника.
Ответов: 3
Математика, 16.09.2019 16:30
Втреугольнике abc угол c равен 90 градусов сторона ab равна 25 , косинус угла а равен 0.6 .найдите длину катита аc ? найдите синус в? найти вс? найдите косинус в? найдите синус а? найдите тангенс а? найдите тангенс в?
Ответов: 1
Математика, 16.09.2019 16:50
Втреугольнике abc угол c равен 90 градусов сторона ab равна 25 , косинус угла а равен 0.6 .найдите длину катита аc ? найдите синус в? найти вс? найдите косинус в? найдите синус а? найдите тангенс а? найдите тангенс в?
Ответов: 3
Геометрия, 20.09.2019 11:40
Да или 1)треугольник со сторонами 6,8 и 10 будет прямоугольным? 2) если внешний угол прямоугольного треугольника 110 градусов, то один из его острых углов 55 градусов? 3) синус острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу другого острого угла данного треугольника 4) если синус угла равен 0,4, то косинус этого угла равен 0, 5)значение косинуса острого угла принадлежит промежутку (0,1) 6)тангенс ост угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему? 7)катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы?
Ответов: 1
Геометрия, 20.09.2019 12:01
Нужна с ! ответить да или нет да или 1)треугольник со сторонами 6,8 и 10 будет прямоугольным? 2) если внешний угол прямоугольного треугольника 110 градусов, то один из его острых углов 55 градусов? 3) синус острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу другого острого угла данного треугольника 4) если синус угла равен 0,4, то косинус этого угла равен 0, 5)значение косинуса острого угла принадлежит промежутку (0,1) 6)тангенс ост угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему? 7)катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы?
Ответов: 1
Геометрия, 20.09.2019 16:10
1.выберите верные утверждения. а)катет прямоугольного треугольника лежащий против угла 30° равен половине гипотенузе б)гипотунуза прямоугольного треугольника равна сумме катетов в)треугольник со сторонами 2,5 и 27-прямоугольный г)если внешний угол прямоугольного треугольника 120 градусов ,то один из его острых углов 30 градусов 2.в прямоугольной треугольнике гипотеза ас=5,катет ав=4,катет вс=3.вычислить минус, косинус и тангенс угла с. 3.выберите верные утверждения а)синус острого угла прямоугольного треугольника равен косинус этого угла б)если синус угла равен 0,8 , то костную этого угла равен 0,6 в)значение тангенса острого угла принадлежит промежутку(0; 1) г)котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению подлежащего катета к противолежащему
Ответов: 2
Алгебра, 23.09.2019 19:01
Втреугольнике abc угол c равен 90 градусов сторона ab равна 25 , косинус угла а равен 0.6 .найдите длину катита аc ? найдите синус в? найти вс? найдите косинус в? найдите синус а? найдите тангенс а? найдите тангенс в?
Ответов: 2
У тебя есть свой ответ?
Найдите синус, косинус и тангенс угла м треугольника мрт, если угол р=90 градусов, мр=8,рт=15….
Отправлено
Вопросы по другим предметам:
Литература, 03.06.2019 02:30
Математика, 03.06.2019 02:30
Алгебра, 03.06.2019 02:30
Русский язык, 03.06.2019 02:30
Русский язык, 03.06.2019 02:30
Математика, 03.06.2019 02:30
Английский язык, 03.06.2019 02:30
История, 03.06.2019 02:30
Математика, 03.06.2019 02:30
Литература, 03.06.2019 02:30
У тебя есть свой ответ?
Найдите синус, косинус и тангенс угла м треугольника мрт, если угол р=90 градусов, мр=8,рт=15….
Отправлено